sda5 es tu particion de sistema (root, o "/"); y supongo que sda7 es tu particion /home.
sda5 parece no tener errores.
Corre fsck -f /dev/sda7
pero francamente no creo que sea un problema del sistema de archivos.
Al parecer tendras que reinstalar.

Si puedes, descarga la mas reciente version del Live CD, asi instalas lo mas actualizado posible.
Al reinstalar, puedes intentar conservar toda tu configuracion de usuario. Para esto, puedes durante la instalacion formatear unicamente la particion "/", y no formatear la particion /home. Luego, al finalizar la instalacion, creas el usuario
exactamente con el mismo nombre que tienes ahora. Si todo sale bien, tendras tu instalacion tal como estaba antes del problema.
Pero esto no es 100% seguro. Siempre debes hacer un backup de tus datos primero.
Si el crear el mismo usuario te da algun problema, siempre es posible crear un nuevo usuario, copiar todos tus archivos personales, y borrar el usuario problema.
Como alternativa, puedes hacer un backup completo de tus archivos, y hacer una instalacion completamente limpia, formateando tanto "/" como "/home".
Suerte.
Un par de preguntas adicionales, para tratar de diagnosticar el caso:
- Los comandos de apt-get, los estas ejecutando como superusuario? Es decir, antes de ejecutarlos, escribes "su" y pones tu contraseña?
- Cuando instalaste Chromium usando Synaptic, te pidio instalar otros paquetes, o solamente instalo Chromium-browser?